ベルマン−フォード・アルゴリズム（Ruby）

ベルマン−フォード・アルゴリズムは、ダイクストラ法にさらに辺の重みが負の場合も含めて最短経路を求めることができます。入出力などはダイクストラ法の場合を参照して下さい。

コーディングは Ruby で行いました。返り値は配列 [shortest, pred] で、pred を見ると最短経路がわかります。
bellman_ford.rb

def bellman_ford(g, s)
  h = g.map {|x| [x[0], x[1].keys]}.to_h
  
  shortest = Hash.new(Float::INFINITY)
  pred = {}
  
  shortest[s] = 0
  
  (h.size - 1).times do
    h.each do |k, v|
      v.each do |x|
        if (a = shortest[k] + g[k][x]) < shortest[x]
          shortest[x] = a
          pred[x] = k
        end
      end
    end
  end
  
  [shortest, pred]
end

if __FILE__ == $0
  g = {s: {t: 6, y: 7}, t: {x: 5, y: 8, z: -4},
       x: {t: -2}, y: {z: 9, x: -3}, z: {s: 2, x: 7}}
  p bellman_ford(g, :s)
end
#=>[{:s=>0, :t=>2, :y=>7, :x=>4, :z=>-2}, {:t=>:x, :y=>:s, :x=>:y, :z=>:t}]

ベルマン−フォード・アルゴリズムは負の閉路を検出できます。下の find_negative_weight_cycle メソッドで、負の閉路がない場合は空の配列を、ある場合は閉路の頂点の順番を配列で返します。

def find_negative_weight_cycle(g, s)
  shortest, pred = bellman_ford(g, s)
  
  g.each do |u, v1|
    v1.each_key do |v2|

      if shortest[u] + g[u][v2] < shortest[v2]
        visited = Hash.new(false)
        x = v2
        until visited[x]
          visited[x] = true
          x = pred[x]
        end
        
        v = pred[x]
        cycle = [x]
        until v == x
          cycle.unshift(v)
          v = pred[v]
        end
        return cycle
      end
      
    end
  end
  []
end

if __FILE__ == $0
  g = {s: {t: 6, y: 7}, t: {x: 5, y: 8, z: -4},
       x: {t: -2}, y: {z: 9, x: -3}, z: {s: 2, x: 7, y: 1}}
  p bellman_ford(g, :s)
  p find_negative_weight_cycle(g, :s)
end
#=>[{:s=>-4, :t=>-2, :y=>-5, :x=>-4, :z=>-6}, {:t=>:x, :y=>:z, :x=>:y, :z=>:t, :s=>:z}]
#=>[:z, :y, :x, :t]

アルゴリズムの基本

組み込みクラスのすべてを移譲する（Ruby）

require 'delegate'

class MyArray < DelegateClass(Array)
  def initialize(*args, &bk)
    super(Array.new(*args, &bk))
  end
  
  def to_s
    join('_')
  end
end

a = MyArray.new(5) {rand(5)}
p a         #=>[4, 2, 3, 2, 4]
p a.to_s    #=>"4_2_3_2_4"

　
MyArray クラスは（リテラルがない以外）Array とまったく同様に使うことができます。新しいメソッドを作ったりインスタンス変数を定義したりしても、移譲なので、元の Array クラスにはまったく影響しません。

結城先生の薬品格納クイズ（Ruby）

「既約分数クイズ」に続いて、結城先生の「薬品格納クイズ」というというのをやってみます。
　
薬品格納クイズ

問題：
6×2=12個の区画に分かれている薬品箱があります。 ここにA, Bという二種類の薬品を格納します。 ところが、薬品Bは縦や横に隣り合った区画に並べて格納すると発火してしまいます（斜めなら大丈夫。薬品Aは並べても大丈夫）。 このとき、発火しない格納方法は全部で何通りあるでしょうか。

http://www.hyuki.com/dig/medquiz.html

補足しておくと、薬品 B がひとつもない場合も含みます。また、すべての区画に A か B のいずれかが入っていなければなりません。

Ruby で解いてみました。完全に brute-force でエレガントでない解き方です。

def check(ar)
  for i in 0...5
    if ar.include?(i) && ar.include?(i + 1) or
         ar.include?(i + 6) && ar.include?(i + 7) or
         ar.include?(i)     && ar.include?(i + 6)
      return false
    end
  end
  return false if ar.include?(5) && ar.include?(11)
  true
end

counter = 1
for i in 1..12
  (0...12).to_a.combination(i) {|ar| counter += 1 if check(ar)}
end
puts counter    #=>239

　
実行時間は、僕の環境でこうなりました。Linux Mint 18.2 @ Core i5 4210U 1.70GHz (Ruby 2.3.3)

real	0m0.113s
user	0m0.080s
sys	0m0.004s

ダイクストラ法（Ruby）

前エントリでは閉路なし有向グラフ（DAG）の場合に最短経路を求めてみましたが、ダイクストラ法は閉路があり、かつ辺の重みが非負の場合に最短経路を求めることができます。入出力は、閉路があって辺の重みが非負である以外、DAG の場合と同じなので、そちらを見て下さい。

コーディングは Ruby で行いました。返り値は配列 [shortest, pred] で、pred を見ると最短経路がわかります。
dijkstra.rb

def dijkstra(graph, start)
  h = graph.map {|x| [x[0], x[1].keys]}.to_h
  
  shortest = Hash.new(Float::INFINITY)    #デフォルトは充分大きな数
  pred = {}
  done = h.keys.map {|node| [node, false]}.to_h
  
  shortest[start] = 0
  
  loop do
    #確定していない中でスタート地点から最短のノードを探す（u）
    u = nil
    h.each_key.reject {|node| done[node]}.each do |node|
      u = node if !u or shortest[node] < shortest[u]
    end
    break unless u
    done[u] = true    #探されたuは確定
    
    #ノードuから行けるノードvまで、スタート地点からuを経由した方が短ければshortest[v]を更新する
    h[u].each do |v|
      if (a = shortest[u] + graph[u][v]) < shortest[v]
        shortest[v] = a
        pred[v] = u
      end
    end
  end
  
  [shortest, pred]
end

if __FILE__ == $0
  graph = {s: {t: 6, y: 4}, t: {x: 3, y: 2},
           x: {z: 4}, y: {z: 3, t: 1, x: 9}, z: {s: 7, x: 5}}
  p dijkstra(graph, :s)
end
#=>[{:s=>0, :t=>5, :y=>4, :z=>7, :x=>8}, {:t=>:y, :y=>:s, :z=>:y, :x=>:t}]

下の書籍を参考にして実装しましたが、非常に簡潔に書けていると思います。この例だと s から x までの最短経路は x→t→y→s と戻ればよいので、つまりは s→y→t→x ということですね。見てわかるとおり、s から任意の地点への最短経路が求まっています。

アルゴリズムの基本

閉路なし有向グラフ（DAG）の最短経路（Ruby）

上の閉路なし有向グラフ（DAG）のように、辺に「重み」が付いている場合において、最短経路を求めてみます。手続きは

入力：

• G: n 個の頂点の集合 V と m 本の有向辺の集合 E を含む閉路なし有向グラフ。
• s: V の始点。

出力：

• V に含まれる始点以外の頂点 v について、@shortest[v] は s から v への最短経路重み sp(s, v) であり、@pred[v] は何らかの最短経路上で v の直前にある頂点である。始点では、@shortest[s] = 0, @pred[s] = nil であり、s から v へのパスがない場合、@shortest[v] = ∞, @pred[v] = nil である。

　
Ruby でコーディングしてみました。メソッドは [@shortest, @pred] を返します。@pred を見ると最短経路がわかります。
dag_shortest_paths.rb

require './topological_sort'

class Hash
  def dag_shortest_paths(s)
    #%dis = Rational or Integer or Float, %node = Object
    #Hash{self[%node]: (Hash[%node]: %dis)}, %node{s} ->
    #Hash{h[%node]: Array[%node], @shortest[%node]: %dis, @pred[%node]: %node}
    #%node{l[]}
    
    h = map {|x| [x[0], x[1].keys]}.to_h
    l = h.topological_sort
    
    @shortest = h.keys.map {|k| [k, Float::INFINITY]}.to_h
    @pred = {}
    
    @shortest[s] = 0
    
    l.each do |u|
      h[u].each {|v| relax(u, v)}
    end
    
    [@shortest, @pred]
  end
  
  def relax(u, v)
    #%node{u, v} --> %dis{a}
    if (a = @shortest[u] + self[u][v]) < @shortest[v]
      @shortest[v] = a
      @pred[v] = u
    end
  end
  private :relax
end

if __FILE__ == $0
  g = {s: {t: 2, x: 6}, t: {x: 7, y: 4},
       x: {y: -1, z: 1}, y: {z: -2}, z: {}}
  p g.dag_shortest_paths(:s)
end
#=>[{:s=>0, :t=>2, :x=>6, :y=>5, :z=>3}, {t=>:s, :x=>:s, :y=>:x, :z=>:y}]

topological_sort.rb は前エントリのコードです。ハッシュを使うとき、to_h 便利ですね。

念のため、返り値 @pred から最短経路を順に配列に入れて返すメソッドを書いておきます。

class Hash
  def get_order(a)
    #Hash{self[%node]: %node}, %node or nil{a} -> %node{order[]}
    order = []
    while a
      order.unshift(a)
      a = self[a]
    end
    order
  end
end

pred = {:t=>:s, :x=>:s, :y=>:x, :z=>:y}
p pred.get_order(:z)    #=>[:s, :x, :y, :z]

アルゴリズムの基本

　

追記

Hash クラスへのモンキーパッチでないように書き換えました。(2019/5/6)

def dag_shortest_paths(g, start)
  h = g.map {|x| [x[0], x[1].keys]}.to_h
  l = topological_sort(h)
  
  shortest = h.keys.map {|k| [k, Float::INFINITY]}.to_h
  pred = {}
  
  shortest[start] = 0
  
  l.each do |u|
    h[u].each do |v|
      if (a = shortest[u] + g[u][v]) < shortest[v]
        shortest[v] = a
        pred[v] = u
      end
    end
  end
  
  [shortest, pred]
end

def topological_sort(h)
  in_degree = Hash.new(0)
  ans = []
  
  h.each_value do |v|
    v.each {|x| in_degree[x] += 1}
  end
  
  nxt = h.keys.select {|x| in_degree[x].zero?}
  
  until nxt.size.zero?
    u = nxt.shift
    ans << u
    h[u].each do |v|
      in_degree[v] -= 1
      nxt << v if in_degree[v].zero?
    end
  end
  raise "グラフに閉路があります。" if in_degree.values.find {|x| not x.zero?}
  
  ans
end


if __FILE__ == $0
  g = {s: {t: 2, x: 6}, t: {x: 7, y: 4},
       x: {y: -1, z: 1}, y: {z: -2}, z: {}}
  p dag_shortest_paths(g, :s)
end
#=>[{:s=>0, :t=>2, :x=>6, :y=>5, :z=>3}, {t=>:s, :x=>:s, :y=>:x, :z=>:y}]

トポロジカルソート（Ruby）

　
閉路なし有向グラフ（DAG: directed acyclic graph）のトポロジカルソートです。トポロジカルソートとは、上のようなグラフがあったとき、

入力：1〜n の頂点をもつ閉路なし有向グラフ。
出力：グラフ内の辺を (u, v) とするとき、u が v の前になるように並べられた頂点の線形順序。

となる手続きのことです。

Ruby でコーディングしました。有向グラフはハッシュで実装しています（隣接リスト）。なので、頂点の数 n は特に与える必要はなくなっています。
topological_sort.rb

class Hash
  def topological_sort
    #%node = Object
    #Hash{self[%node]: %node} -> Hash{in_degree[%node]: Integer}, %node{u, ans[], nxt[]}
    
    in_degree = Hash.new(0)
    ans = []
    
    each_value do |v|
      v.each {|x| in_degree[x] += 1}
    end
    
    nxt = keys.select {|x| in_degree[x].zero?}
    
    until nxt.size.zero?
      u = nxt.shift
      ans << u
      self[u].each do |v|
        in_degree[v] -= 1
        nxt << v if in_degree[v].zero?
      end
    end
    raise "グラフに閉路があります。" if in_degree.values.find {|x| not x.zero?}
    
    ans
  end
end

if __FILE__ == $0
  g = {1=>[3], 2=>[4], 3=>[4, 5], 4=>[6], 5=>[6], 6=>[7, 11],
       7=>[8], 8=>[13], 9=>[10], 10=>[11], 11=>[12], 12=>[13],
       13=>[14], 14=>[]}
  p g.topological_sort
end
#=>[1, 2, 9, 3, 10, 4, 5, 6, 7, 11, 8, 12, 13, 14]

なお、頂点にはじつはどのようなオブジェクトを使うこともできます。

g = {1=>[3], 2=>["4"], 3=>["4", 5], "4"=>[6], 5=>[6], 6=>[7, 11],
     7=>[8], 8=>[:a], 9=>[10], 10=>[11], 11=>[12], 12=>[:a],
     :a=>[14], 14=>[]}
p g.topological_sort
#=>[1, 2, 9, 3, 10, "4", 5, 6, 7, 11, 8, 12, :a, 14]

　
有向グラフの実装としては、隣接リスト以外に「隣接行列」という表し方もあります。
　

アルゴリズムの基本

　

追記

Hash クラスへのモンキーパッチでないように書き換えました。(2019/5/6)

def topological_sort(g)
  in_degree = Hash.new(0)
  ans = []
  
  g.each_value do |v|
    v.each {|x| in_degree[x] += 1}
  end
  
  nxt = g.keys.select {|x| in_degree[x].zero?}
  
  until nxt.size.zero?
    u = nxt.shift
    ans << u
    g[u].each do |v|
      in_degree[v] -= 1
      nxt << v if in_degree[v].zero?
    end
  end
  raise "グラフに閉路があります。" if in_degree.values.find {|x| not x.zero?}
  
  ans
end


if __FILE__ == $0
  g = {1=>[3], 2=>[4], 3=>[4, 5], 4=>[6], 5=>[6], 6=>[7, 11],
       7=>[8], 8=>[13], 9=>[10], 10=>[11], 11=>[12], 12=>[13],
       13=>[14], 14=>[]}
  p topological_sort(g)
end
#=>[1, 2, 9, 3, 10, 4, 5, 6, 7, 11, 8, 12, 13, 14]

「既約分数クイズ」を解く（Ruby, C言語）

ここのところで結城先生の「既約分数クイズ」のことを知りました。結城先生らしい「お話」仕立てですので、是非参照して頂きたいですが、簡単にいうと

問題：正の整数Nが与えられているとき、 以下の条件を満たす既約分数p/qを「すべて」求めるアルゴリズムを示してください。 条件は：

• p, qは整数(pは0以上で、qは1以上N以下).
• gcd(p, q) = 1 (pとqの最大公約数は1).
• 0 <= p/q <= 1.

http://www.hyuki.com/dig/frac.html

というものです。

Ruby で解いてみたのですが、これだとあっさり解けすぎますよね。結城先生はもっと考えてごらんということだと思います。

N = 10
p (1..N).flat_map {|q| (0..q).map {|p| Rational(p, q)}}.uniq

結果。

[(0/1), (1/1), (1/2), (1/3), (2/3), (1/4), (3/4), (1/5), (2/5), (3/5), (4/5),
 (1/6), (5/6), (1/7), (2/7), (3/7), (4/7), (5/7), (6/7), (1/8), (3/8), (5/8),
 (7/8), (1/9), (2/9), (4/9), (5/9), (7/9), (8/9), (1/10), (3/10), (7/10), (9/10)]

まだあまり慣れていない C言語で書いてみましょう。
irreducible_fraction_problem.c

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int n = 10;

int gcd(int p, int q) {
    if (!q) return p;
    return gcd(q, p % q);
}

int main () {
    int *a;
    int co = 2;
    a = malloc(sizeof(int) * n * n);
    
    a[0] = 0;
    a[1] = 1;
    
    for (int q = 1; q <= n; q++) {
        for(int p = 1; p <= q; p++) {
            if (gcd(p, q) != 1) continue;
            a[co++] = p;
            a[co++] = q;
        }
    }
    
    for (int i = 0; i <= co - 2; i += 2) {
        printf("%d/%d ", a[i], a[i + 1]);
    }
    
    printf("\n");
    free(a);
    
    return 0;
}

結果。

0/1 1/1 1/2 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5
1/6 5/6 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 1/8 3/8 5/8
7/8 1/9 2/9 4/9 5/9 7/9 8/9 1/10 3/10 7/10 9/10

　
こんなのでどうですかね。なお gcd(int p, int q) は「ユークリッドの互除法」を使って p と q の最大公約数を求めます。

なお、結城先生の「解答編」もあります。こちらもどうぞ。