かなり深刻なバグだと思います。新規インストール、アップグレードの双方で起こるようです。また、派生のフレーバーすべてでも起きるようです（Ubuntu Budgie でも発生しました）。発生した PC は ThinkPad T410i です。
特徴は一見ネット接続ができているように表示されることです。ネット接続のところを見ると「接続」になっています。それなのに、Firefox やシステムのアップデートで接続できません。
対策としては、/etc/resolv.conf を編集します。
nameserver xx.xx.xx.xx
となっているところ（xx..云々のところには具体的なアドレスが入っています）を、$ sudo vi /etc/resolv.conf などで
nameserver 8.8.8.8
に編集し直します（元のアドレスは控えておいた方がよいでしょう）。これで [logout]→[login] でネット接続すれば OK です。このとき、同じローカルネットワークに接続している他の PC のネット接続ができなくなると思われるので、ルーターの電源を入れ直すなどしてネットワークを更新して下さい。これで他の PC からもネット接続できればおしまいです。
※参考
Bug #1654918 “No Internet access with default of Automatic (DHC...” : Bugs : network-manager package : Ubuntu
Bug #1679535 “! Cannot connect to internet in Ubuntu 17.04 (DNS ...” : Bugs : network-manager package : Ubuntu
